深夜食堂 Lp空间上的几个重要不等式

来源：哔哩哔哩
时间：2023-05-22 13:09:15

(资料图)

写在开始

很多人在高中接触到这几个不等式的时候可能会想凭什么这几个有点晦涩的不等式要被称作**重要不等式**。笔者认为，主要是高中阶段的竞赛书并没有给出$L^p$空间这样一个清晰的背景，"重要"一词又显得过于宽泛才造成的这个疑惑。

实际上，三个不等式中最重要的应该是Minkowski不等式，这个不等式说明了$L^p$空间在$1\leq p\leq \infty$时可以成为一个赋范空间（有范数，p范数），在$0<p<1$时可以成为一个度量空间（没有范数但是可以引入度量，p范数的p次幂），因此，称这个不等式是$L^p$空间的**基石**也不为过。另外两个不等式是证明Minkowski不等式的脚手架，但也各有用处，比如Holder不等式是研究$L^p$空间对偶关系的重要工具。（以上为个人想法，不喜勿喷）

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